Zahlensalat
Selbstreferenzielles Männchen

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Am 20. November wird der Mathematiker Benoît Mandelbrot 85 Jahre alt. In den 70er-Jahren hat er maßgeblich zu den Grundlagen einer mathematischen Theorie des Chaos beigetragen. Die Chaostheorie erlaubt es, Strukturen im scheinbar völlig Ungeordneten zu beschreiben und hat für viele Anwendungen große Bedeutung. Sie reichen von der Chemie bis zur Finanzwissenschaft, wo es beispielsweise möglich ist, Muster in wirr erscheinenden Kursdaten zu entdecken

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Vor den Finanzern haben allerdings die Künstler eine von Mandelbrots Arbeiten benutzt: das sogenannte Apfelmännchen. Auf einem dicken runden Leib trägt es einen Kopf mit einer Art Antenne und wie elektrisiert abstehenden Haaren sowie zwei dicke Ärmchen. Je höher man das Bild auflöst, desto leichter sieht man, dass die Formen am Rand das Gesamtbild wiederholen: Auf der "Haut" des Apfelmännchens sitzen unendlich viele, immer kleinere Männchen. Färbt man die Formen fantasievoll ein, entstehen attraktive Bilder. Den wenigsten Künstlern und Designern dürfte bewusst sein, dass sie mit der grafischen Darstellung einer Menge komplexer Zahlen operieren: Mandelbrot nutzte eine Formel, die eine komplexe Zahl auf ihr Quadrat plus c abbildet. C ist eine beliebig gewählte komplexe Zahl, die als fester Parameter der Rechenvorschrift dient. Die entstehende unendliche Mandelbrotfolge ist entweder beschränkt, oder ihre Zahlen werden dem Betrag nach beliebig groß.

Visuell lässt sich die Menge komplexer Zahlen darstellen, indem man auf einem Computerbildschirm einen Bildpunkt beispielsweise schwarz zeichnet, wenn er zur Menge dazu gehört, und weiß, falls er außerhalb liegt. Welcher Fall eintritt, hängt vom Parameter c ab. Anstatt die Punkte außerhalb der Mandelbrotmenge weiß zu lassen, kann man auch eine Farbe wählen, die geeignet codiert, wie schnell die Beträge der Zahlen wachsen.

So entsteht der oben erwähnte Effekt: In einem beliebig kleinen Ausschnitt am Rand des Apfelmännchens erkennt man winzige ungefähre Kopien der gesamten Menge, in die man wieder hineinzoomen kann etc. Dieses Selbstreferenzielle hat nicht nur auf bildende Künstler, sondern auch auf Musiker große Anziehungskraft ausgeübt. Will man die Bilder noch einmal erzeugen, genügt heute ein Mobiltelefon. Damals brachte man damit ausgewachsene Computer ziemlich zum Schwitzen.

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