Zahlensalat
Visionen und Beweise

Die Mathematik ist perfekt. Oder doch nicht so ganz - und das lässt sich sogar mathematisch beweisen.
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Zahlen kommen immer dann ins Spiel, wenn man auf Verlässlichkeit aus ist. Worauf beruht diese Sicherheit? Die Mathematik gibt sich selbst Regeln, sogenannte Axiome. Aus diesen wird nach akzeptierten Schlussweisen gefolgert. Um eine Behauptung zu belegen, muss ein Mathematiker eine vollständige Kette logischer Schlüsse liefern. Ist auch nur ein Kettenglied brüchig, ein Schluss im Detail also unzulässig, ist der ganze Beweisversuch nichtig. Das feste Regelsystem gibt auch Gewissheit darüber, dass manches unmöglich ist. Hobby-Mathematiker legen immer wieder Beweisversuche für die Quadratur des Kreises vor. Dass ihnen das Unmögliche scheinbar gelingt, liegt daran, dass irgendwo in ihrer Beweiskette ein Denkfehler steckt. David Hilbert hatte zu Beginn des 20. Jahrhunderts die Vision, das mathematische Beweisen so weit zu formalisieren, dass man es Maschinen überlassen könnte. Später zeigten Kurt Gödel, Alan Turing und andere unüberwindbare Grenzen der Formalisierbarkeit auf und setzten Hilberts Traum ein Ende. Gut für die Mathematiker, denn so werden sie nicht arbeitslos. Dennoch gibt es leistungsfähige Softwaresysteme zum Prüfen menschengemachter Beweise, etwa "HOL Light" oder "Coq". Will man dann die Richtigkeit eines solchen Programms testen, lässt man das Beweissystem seine eigene Korrektheit zeigen. Hier entsteht ein Problem wie mit Henne und Ei: Woher weiß man, dass das verifizierende Programm korrekt ist? Die Lösung liegt darin, dass man den Beweis in zwei Stufen führt. Ein einfaches Kernprogramm beweist die Korrektheit des eigentlichen Beweissystems, und dieser kleine Kern muss dann "von Hand" geprüft werden. Zur weiteren Steigerung der Zuverlässigkeit verifizieren sich verschiedene Programme gegenseitig. Manche tiefe Einsicht bleibt Computern wohl für immer vorenthalten, zum Beispiel folgende: Es gibt drei Arten von Mathematikern, die, die zählen können, und die, die nicht zählen können.

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